Lineare Algebra Beispiele

$2 x + 3 y = 9$ , $- 3 x + 2 y = 19$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 2 & 3 & 9 \\ - 3 & 2 & 19 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{3}{2} & \frac{9}{2} \\ - 3 & 2 & 19 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{9}{2} \\ - 3 & 2 & 19 \end{array}]$

Schritt 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{9}{2} \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 2 + 3 (\frac{3}{2}) & 19 + 3 (\frac{9}{2}) \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{9}{2} \\ 0 & \frac{13}{2} & \frac{65}{2} \end{array}]$

Schritt 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{2}{13}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{2}{13}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{9}{2} \\ \frac{2}{13} \cdot 0 & \frac{2}{13} \cdot \frac{13}{2} & \frac{2}{13} \cdot \frac{65}{2} \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{9}{2} \\ 0 & 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & \frac{9}{2} - \frac{3}{2} \cdot 5 \\ 0 & 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 2.4.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = - 3$

$y = 5$

Schritt 4

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(- 3, 5)$

Schritt 5

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 \\ 5 \end{array}]$